Ecuaciones Exponenciales I: _{Crecimiento y decaimiento}

Las primeras ecuaciones exponenciales

Algunos de los primeros records de la solución de problemas matemáticos venían del antiguo Egipto en la forma de papiros que fueron escritos entre 1850 y 1600 AEC. Uno de estos el Papiro Matemático Rhind, es una colección de problemas matemáticos escritos alrededor de 1650 AEC, cuyo titulo es “Método correcto de cálculos para captar el significado de las cosas y conocer todo lo que es, misterios… y todos los secretos (ver Figura 3 para una imagen del Papiro Rhind). Esto no fue un documento puramente académico: Los problemas en el papiro fueron utilizados para manejar suministros de alimentos para ciudades entre otras cosas.

Un problema dice:

En una aldea, habían 7 casas; cada cada tenia 7 gatos, cada gato cazaba 7 ratones; cada ratón se hubiera comido (si no fuese por los gatos) 7 lenguas de trigo, cada lengua de trigo produce 7 hekats de granos en la cosecha. Cuantos hekats de granos fueron salvados por la presencia de los gatos? (como fue citado en Curtis, 1978).

Si ponemos esa información en forma de tabla, aquí esta lo que obtendrá:

Los números se incrementan rápidamente por multiplicación del mismo número por si solo en lo que es llamado progresiòn geométrica. Los Egipcios no utilizaban la anotación simbólica de exponentes que utilizamos hoy en día, pero estaban bien familiarizados con la idea de progresión geométrica.

El uso de la anotación exponencial vino mucho después, cuando René Descartes definió la anotación a² como ser el equivalente a aa, “para multiplicar a por si solo” y a³ como ser “por multiplicarlo de nuevo por a, y subsiguientemente infinitamente” (Descartes, 1637). Sin embargo, en ese entonces Descartes no utilizó la palabra “exponente” (exposant en Francés). De hecho, no es completamente claro cuando la palabra “exponente” se comenzó a usar para describir el uso del sobrescrito derecho como una expresión matemática y la mayoría pensaban que no necesitaba explicación en ese entonces. Para lidiar con esa escasez de explicación, Charles Reyneau publicó Analyse demontrée en 1708, en el cual declara “La única calculación que no se explica en las Teorias de Algebra debe ser descrita y esto es exponentes o poderes” (Cajori, 1913). Sin embargo, en la primera década del siglo XVIII, tanto el concepto matemático de ecuaciones exponenciales como la anotación de exponentes fueron firmemente establecidos.

¿Qué son ecuaciones?

Una ecuación exponencial es una ecuación en cual una variable ocurre en el exponente. Por ejemplo, y = 5^x es una ecuación exponencial debido a que el exponente es la variable x (también se dice “5 a la potencia de x”), mientras que y = x⁵ no es una ecuación exponencual debido a que el exponente es 5 y no una variable. A menudo escribimos ecuaciones exponenciales como y = ab^x, en donde a y b son constantes (números que no cambian de valor) y x y y son variables. Adicionalmente, a es llamado el valor inicial y b es llamado el valor base. En la mayoría de las áreas de la matemáticas y la ciencia, x es considerada la variable independiente o manipulable y y es la variable dependiente o de respuesta, debido a que el valor que obtenemos de y depende de lo que sustituimos por x.

En ecuaciones exponenciales, el valor de b, el valor base, tiene algunas restricciones. La constante b no puede ser igual a 1 y debe ser mayor de 0. ¿Por qué? Si b = 1, entonces sin importar el valor de x, el valor de y es siempre el mismo número a; si b = 0 entonces el valor de y es siempre 0. Cuando graficamos la ecuación con estos valores, obtendremos una línea horizontal (por ende una ecuación lineal) en vez de una curva exponencial. Si b < 0 algunos valores de x resultara en valores de y que no son verdaderos. Por ejemplo, si x es una fracción como ½ y b = -2, entonces (-2)^½= √-2, el cual no es un numero real y no puede ser graficado en un eje de números reales.

Graficando una ecuación exponencial

Miremos el comportamiento de una ecuación exponencial, y = 5^x y compárelo a una ecuación lineal, y = 5x + 1. Para ver las diferencias, graficaremos ambas ecuaciones primero completando una tabla de valores, mostrada a continuación.

Los valores de “y” de una ecuación lineal son el resultado de simplemente agregar el mismo valor una y otra vez (en este caso, 2), llamado progresión aritmética. Al contrario de valores “y” de una ecuación exponencial que son el resultado de multiplicación repetida por la misma cantidad (igual, 2), llamado una progresión geométrica. Podemos comparar estos dos conjuntos de resultados gráficamente, mostrado en la gráfica a continuación

La gráfica de una ecuación lineal es una línea recta e incrementa a un ritmo constante. Por otra parte, la gráfica de la ecuación exponencial no es una línea recta y aumenta a un ritmo incremental formando una curva. Debido a que la potencia en una expresión exponencial indica el número de veces de que el número base se multiplica por si mismo, tal como 2³ = 2 * 2 * 2, después mientras las potencias aumentan, multiplicamos por el mismo valor mas y mas veces. Esta relación causa que y aumente lentamente al principio y después mas rápidamente mientras que el valor de x incremente, mientras que cause que la gráfica aparezca curveada o cóncava en forma.

La gráfica es una ecuación exponencial con el valor inicial, a; es positivo y puede ser clasificado como crecimiento exponencial (aumentando a la derecha) o a decaimiento exponencial (disminuyendo hacia la derecha) dependiendo del valor de b; vea los dos gráficos en la figura 5 para comparar crecimiento y decaimiento.

El crecimiento exponencial ocurre cuando b > 1, y cuando los valores y incrementan hacia la derecha. El decaimiento exponencial ocurre cuando 0 < b < 1 y cuando los valores y disminuyen hacia la derecha. Ambas gráficas se muestran cóncavas hacia arriba.

Cuando a < 0 , las gráficas de ecuaciones exponenciales se hacen cóncavas hacia abajo y valores x que aumentan resultan en valores y que cada vez son mas negativos. Mientras que esto es perfectamente aceptable matemáticamente, es raro en la ciencia que el valor inicial a sería negativo. Por ende, la mayoría de las gráficas que utilizamos en la ciencia se miran como curvas de crecimiento exponencial o de decaimiento exponencial mostrado en la Figura 5.

Problema muestra 1

Suponga que usted es un estudiante universitario en el año 2015 y se le ofrece un empleo como un ecologista con un salario inicial de $40,000 al año. Para fortalecer la oferta, la compañía le promete aumentos anuales de 5% al año durante por lo menos los primeros cinco años de trabajo. Examinemos como su salario cambiara durante un periodo de cinco años.

Dejemos que x = el número de años desde el comienzo de su contrato y que y = el salario anual (en $) después de x años. Un aumento resulta en 100% (cantidad original) + 5% (aumento) = 105% o 1.05, multiplicado por su salario previo. (Mantenga en mente que se debe expresar el porcentaje como decimal.) Los resultados de estos cálculos se muestran en la tabla de abajo.

Note que en el año 0, representando el año inicial del trabajo, no habrá multiplicador para determinar el salario o se puede pensar $40,000 • (1.05)0 = $40,000.00 • 1 = $40,000. Después en el año 2, $40,000 se multiplica por (1.05)¹, o solamente 1.05. Para el año 2, $40,000 se multiplica por 1.05 dos veces, una vez para el incremento del primero año y una segunda vez para obtener el aumento adicional del año 2. Esto nos da $40,000 • (1.05)². Este patrón continua para cada año adicional con el exponente para 1.05 siendo el mismo que el número de año, x.

En el ejemplo del salario, el salario inicial es a, el valor inicial. El valor b = (1 + 0.05) o 1.05, el cual se puede decir que es 100% del salario del año anterior mas un incremento de 5%. Sustituyendo en ambos valores, la ecuación se convierte y =40000(1.05)^x, en donde x es el numero de años desde ser contratado. Esta ecuación exponencial nos permite encontrar su salario después de cualquier numero de años en el trabajo, con tal de que nada mas cambie.

Problema muestra 2

Regresemos a los renos de la Isla de San Mateo y escribamos una ecuación exponencial para representar su crecimiento poblacional. Debido a que no tenemos datos de cada año o en intervalos regulares de tiempo, este problema requiere un poco mas de manipulación para resolver. Primero, necesitamos convertir el año (tal como ser 1957) a los años desde que se introdujeron los renos, o los años desde el año 1944. El número de años desde que se introdujo renos es x en esta ecuación y y es el numero de renos en la isla. Tenemos tres puntos de datos con los que podemos trabajar: 1944 o 0 años después de la introducción, 1957 que es 13 años después la introducción y 1963 que es 19 años después de la introducción (ver la tabla a continuación).

El número inicial de renos en la isla era 29, entonces a = 29. Necesitamos determinar que es b para escribir una ecuación completa, pero no tenemos intérvalos de tiempo regularmente espaciadas para determinar esto fácilmente a mano. Con una calculadora gráfica o programa de hojas de cálculo, se puede introducir pares ordenados en la tabla anterior ((0, 29), (13, 1350), y (19, 6000)) en la función de lista y encontrar una ecuación exponencial para el conjunto de datos. Una ecuación generado por medio de este proceso estadístico, llamado regresión, es y = 30.14(1.33)^x y el valor de b es determinado ser 1.33. Compare esto con el valor de b para el problema muestra 1, 1.05, en donde el ritmo de crecimiento del salario era 5% por año. Utilizando la misma lógica (1.33 – 1.00 = 0.33 o 33%), ¡la ecuación que derivamos sugiere un ritmo de crecimiento de 33% en la población de renos por año!

Esta ecuación puede ser utilizada para aproximar el número de renos en la isla durante cualquier año entre 1944 a 1963. Sin embargo, necesitamos recordar que esto es el modelo matemático derivado de datos limitados y los datos reales pueden ser un poco diferentes a los valores generados por la ecuación exponencial. Por ejemplo, si queremos predecir el número de renos en la isla en 1963, podemos sustituir 19 (1963 – 1944 = 19) para el exponente x

Pero este valor es mas alto que el número verdadero de renos contados en la isla en ese entonces. La diferencia entre el número de renos contados y la predicción matemática se puede deber a cualquier número de factores, incluyendo errores de conteo de parte de los investigadores, variabilidad en la población de renos y un modelo impreciso matemático, el cual puede resultar en tener solamente tres puntos de datos para poder trabajar (para mas información acerca de modelos matemáticos, vea nuestro módulo Modelación en Investigaciones Científicas).

Ecuaciones exponenciales en la ciencia

Ecuaciones exponenciales son aplicadas en una gran variedad de situaciones en la ciencia, desde la modelación de la propagación de enfermedades virales en una población hasta la estimación de la presión atmosférica en una altitud dada a reacciones en cadenas en la fisión nuclear. Todos estos procesos involucran progresión geométrica: Por ejemplo, una persona con un virus puede infectar a diez mas y cada uno de estos diez puede infectar a diez mas. En todos estos casos, datos del mundo real pueden ser modelados utilizando ecuaciones exponenciales y estas ecuaciones pueden proveer predicciones de conocimiento futurístico. Resolviendo ecuaciones exponenciales es una herramienta valiosa para encontrar variables como ritmo de crecimiento, ritmo de decaimiento, la cantidad de tiempo que ha pasado o la cantidad de algo en un tiempo específico.