Ecuaciones Lineales: _{Relaciones con dos variables}

Que son ecuaciones lineales?

La formula se relacionando la longitud de fémur a la estatura estimada en la situación anterior es un ejemplo de la ecuación lineal – un enunciado matemático en el cual el exponente mas alto de cualquier variable es igual a 1 (ninguno de los variables son cuadrados, elevados al tercer poder, elevados al cuarto poder, etc.). También se les conoce como ecuaciones de primer orden.

Como se espera del nombre, cuando se gráfica en el sistema de coordenadas Cartesiana (el sistema familia de eje x- y eje y-), una ecuación lineal produce una línea recta (Figura 2). Otros ejemplos de ecuaciones lineales incluyen:

Esta ecuación se convierte grados Celsius (x) a grados Fahrenheit (y).

Una ecuación que da la proporción de átomos de oxígeno (y) a átomos de carbono (x) en dióxido de carbono.

Esta ecuación relaciona el número de chirridos por minuto (y) hechas por un grillo árbol cubierto de nieve a la temperatura ambiente en grados Fahrenheit (x).

Historia de ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales y otros conceptos básicos de algebra tienen una larga historia que lleva a miles de años. Los antiguos Mesopotámicos, Egipcios, Griegos, Chinos e Hindús todos desarrollaron métodos matemáticos que sirvieron como las fundaciones de algebra moderna. Pero la mayoría de los historiadores consideran que el padre del algebra es Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 EC), un estudiante con la academia de la Casa de Sabiduría, situada en lo que ahora es Baghdad. De hecho, la palabra Algebra viene del término, al-jabar, que al-Khwarizmi utilizó para describir la técnica de sumar cantidades iguales a ambos lados de una ecuación para poder simplificarla.

Pero la matemática que practicaba al-Khwarizmi y sus predecesores se miraba muy diferente a como nosotros vemos el algebra hoy en día. Quizás la diferencia mas grande es que al-Khwarizmi no utilizaba símbolos matemáticos. No usaba variables que significaban constantes o desconocidos, tampoco utilizaba símbolos para representar la operación como suma o resta que se llevaba a cabo. En vez de trabajar con ecuaciones, todos los cálculos que realizó al-Khwarizmi fueron descritos como palabras – primordialmente lenguaje cotidiano con pocos términos técnicos, como al-jabar. Usualmente escribía acerca de la matemática necesitada por propósitos prácticos, tal como para dividir inherencia.

Hoy en día, el uso de símbolos y ecuaciones es tan central a la algebra que es bien lógico preguntar: ¿Por qué todos los problemas de texto de al-Khwarizmi son considerados algebra? Las características clave son:

• resolver una cantidad desconocida (el cual separa de una aritmética simple),
• un enfoque numérico (en vez de un enfoque puramente espacial o geométrico como tenían muchos estudiantes Griegos), y
• calcular reglas generales o técnicas para trabajar con números (tal como al-jabar).

Al-Khwarizmi también estudió la aritmética, especialmente como fue practicada en la India. Basándose en los trabajos de los estudiantes anteriores Hindúes, escribió uno de los primeros textos describiendo el sistema decimal, las operaciones que ahora llamamos multiplicación y división, y el circulo pequeño que parece ser usado como un cero (figura 3).

Durante el siglo XII, partes de las escrituras de al-Khwarizmi fueron traducidas a Latín y leídos por estudiantes trabajando en Europa. Estos escolares gradualmente introdujeron símbolos de operaciones, números y variables. Esto eventualmente llevó al desarrollo de ecuaciones como las conocemos hoy en día.

Desarrollo del sistema de coordenadas Cartesiano

En el siglo XVII, otra innovación ayudo a conectar el algebra con la geometría. Rene Descartes, un filósofo y matemático francés, desarrollo una manera de visualizar ecuaciones con dos variables, graficándolas como línea (lineal) o curvas (no lineales). El sistema de coordenadas Cartesianas, llamado así por Descartes, es un sistema de dos ejes perpendiculares, usualmente etiquetados x y y. Es una herramienta importante en la matemática moderna desde el algebra hasta cálculo, y los científicos frecuentemente lo utilizan para visualizar la relación entre dos variables en sus datos. (Para mas información acerca de cómo los científicos utilizan el sistema Cartesiano de coordenadas, vea nuestro módulo Usando Datos Gráficos y Visuales.)

El libro de 1637 de Descartes La géométrie describió la idea básica del sistema de coordenadas, y así mismo organizo una colección de símbolos y convenciones que aun utilizamos hoy en día. De La géométrie, obtuvimos las cosas como el símbolo moderno de la raíz cuadrada (radical) y la convención de la escritura de un exponente como un numero pequeño elevado justo después de su base. La practica de utilizar letras minúsculas al principio del alfabeto para significar números dados o constantes y utilizar letras minúsculas al final del alfabeto para representar variables también proviene de Descartes. Hoy en día llamamos la ecuación “ax + by = c” la forma estándar de la ecuación lineal.

Trabajando con ecuaciones lineales

Cuando se nos presenta con una ecuación lineal, si sabemos el valor de una de las variables (x o y) , podemos resolver la ecuación del otra variable. Utilicemos la ecuación de los grillos mostrada en la Figura 2 (Dolbear, 1897) como un ejemplo. Si nos sentamos afuera una noche y contamos los llamados grillos termómetros cantan 80 veces por minuto (y =80), podemos resolver la temperatura x) de la manera siguiente:

Enchufe en 80 chirridos para y.

Simplificado.

Por ende, sabemos que la temperatura es aproximadamente 60° F. La siguiente noche pudimos observar a los grillos cantar 60 veces por minuto (y=60), podemos insertar ese valor y calcular el nuevo valor de x(55° F).

En la ecuación de grillos, x se le conoce como la variable independiente y y es la variable dependiente, como sus valores dependen en el valor de x (la tasa del cantar depende en la temperatura). Los conjuntos de valores de x y y que hacen que la ecuación sea verdadera son soluciones a la ecuación. Son generalmente escritas como pares ordenados en la forma de x, y. Una solución para la ecuación de grillos es que el par ordenado de 60° F y 80 cantadas por minuto (60, 80). En teoría, existe un número infinito de soluciones a la ecuación, incluyendo (55, 60), (65, 100) y (43, 12). Cada par ordenado es un punto en la línea descrita por la ecuación (Figura 4).

Sin embargo, algunos pares ordenados que son soluciones a una ecuación especifica quizás no tenga sentido en el mundo verdadero. Por ejemplo, los pares ordenados (37, -12) y (200, 640) son soluciones válidas a la ecuación de grillos pero no tienen sentido en este contexto. Los grillos no pueden cantar -12 veces por minuto y también son poco probable estar vivos(especialmente con una tasa de cantar 640 veces por minuto) si la temperatura ha llegado a 200 F. Cuando se trabaja con una ecuación en el contexto del mundo verdadero, es importante reflejar una solución especifica y considerar si tiene sentido en ese contexto.

Si no sabemos el valor de cualquiera de los intervalos, entonces podemos aun resolver para una de las variables en términos de de la otra.

También, utilizando la ecuación anterior, podemos resolver y en términos de x como podemos ver a continuación.

Restar 40 desde ambos lados.

Multiplicar ambos lados por 4.

Simplificar ambos lados de las ecuaciones.

Reorganizar la ecuación de modo y está a la izquierda.

Por ende, podemos ver de que y es igual a cuatro veces x menos 160. Si estamos en el campo y ya sabemos la temperatura (x), esta ecuación puede ser utilizada para rápidamente calcular el numero esperado de cantadas (y).

Forma pendiente-intersección

Adicionalmente, si queremos visualizar una ecuación lineal graficándola, el arreglo se muestra anteriormente, llamado forma pendiente-intersección, es comúnmente mas útil. La forma pendiente-intersección sigue el formato general:

Donde x y y son las variables y m y b son las constantes. (Mantenga en mente de que m y b pueden ser positivas, negativas o igual a 0.)

En esta forma, m es la pendiente de la línea – la tasa que nos dice cuanto sube una línea sobre una distancia específica. Mientras tanto, b es el intercepto-y – el punto en donde la línea cruza el eje-y. Mantenga en mente de que en contextos de mundo real, los ejes pueden ser etiquetados con variables que no son x y y. Por ejemplo, puede que vea t para representar el tiempo o v para representar la velocidad. Por esta razón, es mejor pensar de que el intercepto-y es el intercepto del eje vertical.

La pendiente es una tasa relacionando el cambio en y con el cambio en x (a veces llamado “elevado a correr”) de un punto a otro en una línea. Por ejemplo, si m = ½, cada punto en la línea es una unidad mas alta en el eje vertical (y) por cada dos unidades a la derecha en el eje horizontal (x). Si m = –3, cada punto en la línea es de 3 unidades mas bajas al eje y por cada unidad a la derecha. Una pendiente positiva significa que una línea tiende a subir mientras que la otra se mueve a la derecha; una pendiente negativa ocurre cuando la línea tiende a bajar mientras que una se mueve a la derecha (figura 5).

Para ecuaciones lineales utilizadas en la ciencia, b comúnmente representan el punto de inicio. Imagínese un estudio en donde un científico mide la longitud de un organismo mientras crece con el paso de un mes. Si encuentra de que la tasa de crecimiento es lineal y escribe una ecuación en la forma y = mx + b para describir la longitud del organismo b probablemente indicaría la longitud del organismo al principio del estudio.

Describir líneas horizontales y verticales con ecuaciones lineales

Líneas horizontales y verticales también son descritas por ecuaciones lineales. En un contexto científico, una línea horizontal o vertical indica que una variable es constante, sin importar los cambios en cualquier otra variable. En la ecuación anterior relacionando la longitud del fémur (L) con la estatura general de la persona (H), mientras mas alta la persona, mas largo es su fémur. Pero, si consideramos la relación entre estatura (H) y el número de extremidades (N), no vemos dependencia de uno sobre el otro. Sin importar la estatuta, N = 4 describe el numero de extremidades en todos los casos.

Una línea vertical tiene une pendiente indefinida y por ende no puede escribirse en forma pendiente-intersección. La ecuación general para la línea vertical es x = a, en donde a es a constante. En una línea vertical, todos los puntis tienen el mismo valor-x y la línea nunca cruza el eje y (al menos de que la ecuación es x, = 0) Una línea horizontal tiene una pendiente de 0, por ende la forma pendiente-intersección puede ser simplificada a y = b en donde b es la intersección de y y también el valor-y en todo par ordenado que satisface la ecuación (Figura 6).

En aplicaciones verdaderas tales como las descritas a continuación, cada eje – y por ende cada variable – representa una medida de algún factor, tales como la distancia recorrida, el tiempo que ha pasado, grados Fahrenheit, etc. La ecuación lineal describe la relación entre dos medidas. A pesar de que x y y son las variables predeterminadas para los ejes, usted comúnmente vera otras letras utilizadas en ecuaciones y en graficas que dan a conocer que representa la variable. Por ejemplo, t puede representar tiempo, d para distancia, etc. (Vea nuestro módulo Utilizando Gráficas y Datos Visuales en la Ciencia para mas información acerca de cómo se utilizan las graficas en la ciencia.)

Utilizando ecuaciones lineales en la ciencia

Las ecuaciones lineales pueden ser utilizadas para describir muchas relaciones y procesos en un mundo físico, y por ende tienen un gran papel en la ciencia. Frecuentemente, ecuaciones lineales son utilizadas para calcular tasas, por ejemplo la velocidad en la que un proyectil se mueve o como procede una reacción química. También pueden ser utilizados para convertir de una unidad de medias a otra, tales como de metros a millas o grados Centígrados a grados Fahrenheit.

En algunos casos, los científicos descubren relaciones lineales durante una investigación. Por ejemplo, una científico ambiental analizando datos que ella ha recolectado acerca de la concentración de cierto contaminante en un lago puede notar de que el contaminante se decae a una tasa continua. Utilizando esos datos, ella puede desarrollar una ecuación lineal que describe la concentración del contaminante con el tiempo. La ecuación puede ser utilizada para calcular la cantidad del contaminante que estará presente en cinco años o cuanto tiempo toma que el contaminante se decaerá completamente.

Como calcular la tasa

Una tasa es una medida de cambio relativo al tiempo. Los científicos a menudo necesitan que tan rápido o que tan lento (“cual es la tasa”) un proceso especifico ocurre. Un geólogo, por ejemplo pueda que quiera saber cual es la tasa en el cual pedazos de la corteza de la tierra se mueven para poder evaluar peligros sísmicos potenciales. Un químico puede necesitar saber cual es la tasa en el cual dos sustancias reaccionan una con la otra para poder entender los productos de reacciones químicas.

Una tasa (r) se calcular determinando la cantidad de cambio (por ejemplo, distancia viajada) y el tiempo que ha pasado. Para hacer esto necesitamos dos valores para el tiempo (t₁ y t₂) y dos valores correspondientes para la condición que esta cambiando (d₁ y d₂). Entonces, por ejemplo:

donde d₂ es la distancia viajada en tiempo t₂ y d₁ es la distancia viajata en tiempo t₁. La letra Griega Δ, “delta,” significa cambio, y a menudo lo vera siendo utilizado en problemas de cálculo de tasa. Escrito utilizando delta, nuestra ejemplo de ecuación de tasa es:

La tasa es igual al cambio en distancia (d) sobre el cambio en tiempo (t). Veamos a un ejemplo de la vida real.

Problema muestra 1

Cuando el Rio Susquehanna llega a la Reserva de agua Conowingo en Maryland, el fluido de agua y mucho del sedimento que el rio ha llevado con la corriente se asienta detrás de la presa Conowingo. Cuando la presa fue construida originalmente en 1928, la capacidad de almacenamiento de la reserva fue 300,000 acres-pies. En 1993, al USGS determino de que la acumulación de sedimentos había reducido la capacidad de la reserva a 189,000 acres-pies (Langland & Hainly, 1997). Asumiendo de que la tasa de deposición del sedimento ha sido constante a en un tiempo en un periodo especifico de tiempo, cual es la tasa (en acres-pies al año) se reduce la capacidad de la reserva?

Solucion 1

En este ejemplo, la condición cambiante (c) es la capacidad de la reserva en hectáreas-pies. Y el tiempo (t) es medida en años:

La reserva esta perdiendo capacidad de almacenamiento a un promedio de 1,708 acres-pies al año. Por ende, la tasa de cambio en capacidad es un valor negativo.

En este ejemplo, la condición cambiante (c) es la capacidad de la reserva en hectáreas-pies. Y el tiempo (t) es medida en años:

Problema muestra 2

En el 2006, los científicos trabajando con la con la Plate Boundary Observatory Network (Red del Observatorio de Bordes de Placas) comenzó a observar la ubicación de una estación de GPS al oeste de la falla de San Andreas en California, lo que significa que la Placa Pacifica y la Placa de Norte América rozan una con la otra. En Mayo del 2007 los investigadores anotaron que la estación estaba 32.95 mm al noroeste de su posición original. En Mayo del 2012, lo observaron 195.30 mm al noroeste de su posición original. (UNAVCO, 2012). En promedio, que tan rápido se movía la estación (y por ende la Placa Pacífica) entre el año 2007 y el 2012?

Solución 2

Para resolver la tasa promedio del movimiento de la estación necesitamos saber que tan lejos se movió entre el año 2007 y el año 2012 (Δx).

Debido a que el tiempo de interés es entre el año 2007 y el año 2012, sabemos que Δt=5 años. Por ende:

Entre el año 2007 y el año 2012, las placas se movieron aun promedio de aproximadamente 32.5 mm noroeste al año.

Problema Muestra 3

Si la placa continua moviéndose en la misma tasa hacia la misma dirección, que tan lejos llegara desde su posición original (Mayo del 2006), para Mayo del 2050?

Solución 3

Ahora que usted ha calculado la tasa de movimiento usted puede calcular que tan lejos viajara utilizando la ecuación general:

En donde d significa distancia, r significa tasa de movimiento, y t significa el tiempo que ha pasado.

Para Mayo del año 2050, la estación se habrá movido aproximadamente 1,430 milímetros.

Como convertir unidades de medida

Cuando se hacen cálculos en la ciencia (o la vida diaria), es importante asegurarse que se utilicen unidades consistentes de medida – o convertir con exactitud de una unidad a otra cuando sea necesario. El sistema métrico (también llamado SI por Système Internationale es utilizado por científicos por todo el mundo y por la mayoría de los países. Pero si usted vive o viaja los Estados Unidos y un poco cantidad de países en el caribe, puede que necesite convertir entre unidades SI y unidades Inglesas. Sin importar en donde viva, tener la capacidad de convertir entre unidades es útil para encontrar el producto que es mejor precio por unidad de peso en el mercado, para convertir monedas y para convertir entre diferentes tipos de unidades SI en la ciencia. Para mas información vea El Sistema Métrico: Notación Métrica y Científica.

Problema Muestra 4

Su amigo trabaja para un periódico en EEUU y quiere reportarle lo que ha encontrado a los científicos en el Problema Muestra 2 anterior. Sabiendo que la audiencia del periódico es mas familiar con pulgadas en comparación a milímetros, quiere convertir la tasa del movimiento de placas de milímetros por año a pulgadas por año y le solicita su ayuda. ¿Qué tasa puede reportar su amigo?