Ecuaciones Exponenciales II: _{La constante e y los limitantes al crecimiento}

La forma típica de ecuaciones exponenciales en la ciencia

Muchos fenómenos naturales exhiben crecimiento exponencial (mientras incrementa la población) o decaimiento exponencial, y por ende ecuaciones exponenciales son frecuentemente utilizadas en la ciencia. En casi todos los casos, el tiempo es una variable importante en estos fenómenos, entonces los científicos a menudo utilizan una ecuación exponencial particular con la variable de tiempo que ya esta incluido. La ecuación exponencial utilizada por muchos científicos para describir eventos de crecimiento o decaimiento es:

La ecuación es bien similar a y=ab^x, la ecuación introducida en nuestro módulo Ecuaciones Exponenciales en la Ciencia I: Crecimiento y Decaimiento. De hecho, podemos mapear cada componente de una ecuación a otra:

• N₀ es la cantidad de algo en el tiempo 0, el cual es el mismo que el valor inicial a.
• e es una constante (de valor aproximado 2.71828) que reemplaza el valor base b.
• k es una constante que determina que tan rápido el valor crece o se decae, llamado constante de tasa de crecimiento o decaimiento.
• t es la variable de tiempo, el cual reemplaza la variable x.
• N es la cantidad de algo, equivalente a la variable y, el cual depende del valor inicial, la tasa de crecimiento y el tiempo.

Note de que k y t se multiplican cada uno por el otro. Debido a que k es una ritmo, sus unidades son “por unidad de tiempo,” y pueden aparecer por año (yr^-1) o por hora (hr^-1). La variable t tiene las unidades de tiempo: año u hora. Cuando k se multiplica por t, por ende, sus unidades se cancelan y nos quedamos con un exponente sin unidades. Vera ejemplos de esto en este módulo.

¿De donde vienen estas constantes e y k? ¿Y porque están presente en tantas ecuaciones exponenciales que son utilizadas en la ciencia? Primero que todo, es importante señalar que e y k son diferentes tipos de constantes. Específicamente, k es una constante cuyo valor se difiere por cada material o proceso (por ejemplo, el valor k para decaimiento de ¹⁴C, un isotopo radioactivo que se decae a ¹⁴N, es diferente al valor k de ²³⁸U, otro isotopo radioactivo que se decae a ²⁰⁶Pb). Al contrario, e es siempre e; siempre tiene el mismo valor. Pero cual es el ese valor, y porque no aparece en ecuaciones exponenciales?

La constante e

Quizás ha aprendido acerca del numero e antes: es uno de los números irracionales (números que no se pueden expresar como fracciones) mas comúnmente utilizados. Los primeros 32 dígitos de e son 2.7182818284590452353602874713527. Pero eso es solamente los primeros 32 digitos – en el 2010, Shigeru Kondo tuvo éxito en calcular el valor de e a 1 trillon de dígitos (Yee, 2011).

¿Pero de adonde viene e y que significa? A través el siglo XVII, muchos matemáticos en Europa trabajaban en exponentes, explorando tanto los conceptos matemáticos y la aplicación de estos conceptos en todo desde la astronomía hasta las finanzas. En el año 1683, el matemático suizo Jacob Bernoulli estudiaba la expresión (1 + 1/n)ⁿ. Reconoció que su expresión estaba involucrada en el calculo de interés compuesto, un tema financiero importane debido a que los comerciantes de Sumeria llevaban control de cálculos de interés en tablillas de barro tan antes como el año 1700 AEC (Maor, 1994) (ver Figura 1 por ejemplo).

Interés es lo que un banco (u otra entidad) le pagara por su inversión, usualmente dado en la forma de tasa de interés. Si su banco calcularía la cantidad que usted paga utilizando interés simple, le pagarían 5% cada año de la cantidad de su inversión inicial, entonces recibiría 5% de $100 o $5 cada año. Sin embargo, si utilizan interés compuesto calculan su interés en la cantidad total de su cuenta. Entonces el primer año usted ganaría 5$, el segundo año ganaría 5% de interés de $105 o $5.25. El tercer año ganaría 5% de interés de $110.25 o $5.515. En otras palabras usted ganaría un poco mas cada año.

Bernoulli estaba explorando la idea pagar el interés mas frecuentemente: dos veces al año o tres veces al año. En otras palabras, si usted quiere maximizar el interés que se le pago en su inversión, que tan frecuentemente puede ser calculado el interés? En la expresión de Bernoulli ${(1+\frac{1}{n})}^n$, el número n se refiere al número de veces al año que el interés se calculaba en su inversión. Mientras trabajaba con su expresión, Bernoulli observo que, mientras n se hacia mas y mas grande, el valor de esta expresión siempre fue entre 2 y 3, incluso para valores bien altos de n (ver Tabla 1).

Mirando a los valores en la Tabla 1, usted puede ver que mientras los valores de la expresión siempre están incrementando, la cantidad del incremento en la solución a la ecuación se hace mas y mas pequeño mientras n aumenta. Si usted piensa esto en términos de calcular interés, el resultado de Bernoulli nos muestra de que usted no gana mucho mas que el calculo y el pago de interés diez veces al año que obtiene calculándolo seis veces al año y la diferencia mas grande viene entre una a tres veces al año. Mientras son sustituidos valores de n mas y mas altos, el valor de la expresión se acerca a una constante, la cual es aproximadamente 2.71828 - el valor reportado por Bernoulli como el limite de la expresión (Figura 2). Esto seria el valor del interés pagado en su inversión si usted tiene una tasa de interés de 100% y si es pagada constantemente un numero infinito de veces al año. El valor de este limite es el numero que llamamos e hoy. Mientras que Bernoulli formuló la expresión y encontró el valor, a otro matemático, Leonard Euler se le acredita con la formalización la constante con la designación e a principio del siglo XVIII.

Entonces e es el limite de la ecuación de Bernoulli, pero ¿porque se utiliza tan comúnmente en las ecuaciones exponenciales en la ciencia, reemplazando el valor base b? ¿Qué aplicación tiene esto aparte de calcular interés? Para responder estas preguntas, puede ayudar regresar a una ecuación exponencial tal como y = 2^x. La tabla 2 muestra una serie de valores y para esa ecuación.

Si cada uno de los valores de x es considerado ser un paso de tiempo de longitud equitativa (tal como una hora, un día o un año), entonces con cada paso de tiempo que hay aumento de y. Pero las ecuaciones exponenciales y = 2^x asume que todo el aumento ocurre justo en el paso de tiempo correcto, en vez de gradualmente. Por ejemplo, si usted tiene 100 células de bacterias en una placa Petri y usted sabia que se separarían una vez cada hora, utilizando esta ecuación significaría que todas esas células esperarían 60 minutos y después separarse al mismo tiempo. Sin embargo, esto no es realístico. En vez de esto, cada bacteria se separa a diferentes veces, pero después de que pasa una hora, usted espera que todos se hayan separado – y algunas de las bacterias que se habían separado a principios de la hora se empezarían a separar de nuevo. En otras palabras, la población de las bacterias esta en crecimiento continuo a lo largo de esa hora, en vez de aumentar todo a la vez – su crecimiento sigue el mismo progreso matemático como interés compuesto en una tasa de interés de 100%, asumiendo que el interés es pagado continuamente, tal como lo describimos anteriormente.

Hay un limite de que tan rápido esa población puede crecer. Una sola bacteria puede dividirse en dos, no en cuatro o cinco. Esta población creciente gradualmente es por lo tanto no descrito con exactitud por la ecuación exponencial con un valor base (b) of e. El constante e tiene muchos usos en la matemática, pero en la ciencia lo consideramos que es la tasa basa de cambio (crecimiento o decaimiento) en sistemas que son en cambio continuo (creciendo o decayendo) con el paso del tiempo. Esos sistemas pueda que sean una población de bacteria, una reacción química o un decaimiento de material radioactivo.

En la ciencia, la constante e es íntimamente conectada a la constante k, a menudo llamado constante de tasa de crecimiento. Como un exponente en la ecuación N = N₀e^kt, k modifica la tasa de base e para un material especifico, proceso o condición ambiental. Por ejemplo, las bacterias se separan mas rápidamente a temperatura ambiente que a casi congelándose, entonces la misma bacteria tendrá diferente tasa de crecimiento constante k en diferentes temperaturas debido a que existen diferentes condiciones ambientales. Ambas son tasas de growth, entonces en ambos casos k es positivo. En comparación, dos diferentes isotopos radioactivos, tal como ¹⁴C y ²³⁸U tienen diferentes valores de k a pesar de que ambos se descomponen radioactivamente debido a que son diferentes materiales. Pero debido a que dos isotopos se descomponen o decaen con el tiempo, ambas tasas constantes de crecimiento son negativas – un proceso diferente que la reproducción.

Resolver ecuaciones exponenciales que utilizan e

La ecuación N = N ₀e^kt puede ser resuelto para cualquiera de las variables dentro de ella, y a veces científicos se interesan en encontrar t (la cantidad de tiempo que ha pasado), k (la tasa de crecimiento o decaimiento de algo en un conjunto dado de condiciones), N₀ (la cantidad inicial de algo), o N (la cantidad de algo después de que una cantidad de tiempo ha pasado). Los siguientes problemas de muestra tratan algunas de estas diferentes posibilidades.

Problema muestra 1: Crecimiento de bacteria

Estamos a menudo aconsejados que refrigeremos comidas después de abrirlas. Lo que sobra que queda afuera del refrigerador en la noche se arruina rápidamente aunque dure varios días refrigerado. ¿Por qué es este el caso? Una razón es la presencia de bacterias – las bacterias están en todas partes, y unas son buenas para nosotros y unas son malas. Las bacterias han demostrado una tasa de crecimiento exponencial en muchos casos, pero la tasa de crecimiento (o lo empinado de la curva de la gráfica) varia significativamente dependiendo de la temperatura.

Un estudio publicado en el año 1991 probo las tasas de crecimiento de las bacterias de la bacteria lactobacilos plantarum (Figura 3), un bacterio generalmente benigno encontrado en comidas fermentadas, en diferentes temperaturas que van desde 6° C to 43° C (Zwietering et al., 1991). Después de permitir que culturas crezcan durante 24 horas, los autores del estudio determinaron la constante de crecimiento (k) para que estas diferentes temperaturas. En 6.0° C (que es lo que se encontraría en un refrigerador), encontraron que la constante de tasa de crecimiento de k = 0.0164 hr^-1, mientras que en 28° C (cerca de la temperatura ambiente), encontraron una constante de tasa de crecimiento de k = 0.8 hr^-1. (Recuerde que las unidades de k son “por unidad de tiempo” y que k se puede diferir por el material, proceso, o en es en este caso, variables ambientales como la temperatura.) ¿Qué significa esto para el numero de L. plantarum que crecería en su yogurt si se deja afuera en el refrigerador en la noche por 12 horas?

Para su referencia, aquí esta la clave a la ecuación exponencial, N = N₀e^kt, para este problema:

N = numero total de bacteria L. plantarum

N₀ = numero inicial de bacteria L. plantarum

k = tasa de crecimiento de L. plantarum

t = tiempo pasado

e = una constante, aproximadamente 2.71828

Utilizando la ecuación N = N₀e^kt, puede determinar el numero de bacterias en ambas temperaturas después de 12 horas. Primero, averigüemos cuantas bacterias hubieran si ponemos el yogurt de regreso en el refrigerador en 6° C. Sabemos que existen ya L. plantarum en el yogurt, entonces podemos asumir los siguientes valores:

N₀ = 10 (asumiremos que este es el valor inicial, pero creemos que es aun mas alto)

k = 0.0164 hr^-1

t = 12 hr

Sustituya estos valores en la ecuación tenemos:

N = N₀e^kt

N = 10 e ^0.0164(12)

N = 12

Como se puede ver, el numero de bacterias no aumenta mucho en el refrigerador, entonces probemos la misma ecuación en la temperatura mas alta, en donde k> = 0.8 h^-1:

N = N₀e^kt

N = 10e^0.8(12)

N = 146,648 or 1.5 x 10⁵

Eso es mucha mas bacteria de lo que se tenia al principio – lo que aparece ser un cambio bien pequeño en el valor de k resulta en un gran cambio en N. Esto es característico de ecuaciones exponenciales, descrito en mas detalle en nuestro modulo Ecuaciones Exponenciales en la Ciencia I: Crecimiento y Decaimiento

Problema de Muestra 2: Datación por carbono -14

Datación de Carbono 14 (o datación ¹⁴C) es una técnica que puede ser utilizada para determinar la edad de todo que tenia vida que tiene carbono en ello, desde pedazos de madera y carbón hasta huesos y piel. ¹⁴C es un isotopo radioactivo presente en pequeñas cantidades en la atmósfera y todos los seres vivientes y se decae exponencialmente con un ritmo de decaimiento de k = -0.00012 yr^-1. Mientras que un organismo esta vivo, esta constantemente intercambiando ¹⁴C con la atmósfera, reponiendo los isotopos y manteniendo una cantidad aproximadamente constante. Sin embargo, una vez muere un organismo el intercambio y la reposición se detiene y el ¹⁴C que estaba presente en el tiempo de muerte simplemente se decae. (Tome en cuenta de que debido a un proceso de decaimiento exponencial, el valor de k es negativo. En problemas anteriores, miramos el proceso de crecimiento y k era positivo.) Debido a que sabemos el ritmo de decaimiento, podemos determinar que tan viejo algo es si sabemos cuanto ¹⁴C queda de la cantidad inicial (para mas información acerca de cómo funciona la datación ¹⁴, vea nuestro módulo acerca de incertidumbre, Errores, y Confiabilidad).

En el año 1995, los científicos de la Universidad de Arizona, el Laboratorio de Brookhaven del Departamento De Energia de EEUU, el Instituto Smithsonian utilizó datación ¹⁴C para determinar la edad de un pergamino controversial que podría ser el primer mapa de Norte América, el mapa de Vinland (mostrado en la Figura 4). El texto en el mapa lee en parte:

Por la voluntad de Dios, después de un largo viaje a la isla de Groenlandia en el sur hacia las partes mas distantes que quedaban del mar del occidente del océano, navegando hacia el sur entre el hielo, los compañeros Bjarni y Leif Eiriksson descubrieron una nueva tierra, extremadamente fértil y hasta tenia plantas guiadoras… la cual isla llamaron Vinland.

Este mapa, si es autentico sugiere que los Vikingos conocieron Norte América antes de Colón.

Los científicos cortaron una pequeña parte del pergamino de la parte inferior derecha del mapa de Vinland y analizaron por medio el proceso de datación (Donahue et al. 2002.) Después de llevar a cabo numerosas pruebas el grupo encontró la cantidad ¹⁴C en el papel era aproximadamente 93.5% del valor moderno. Utilizando esta información y la ecuación N = N₀e^kt, tenían lo que necesitaban para encontrar la edad del pergamino. Ahora sabemos que:

N = N₀e^kt

N₀ = 100% o 1.0

k = -0.00012 yr^-1

Sustituyendo estos valores, obtenemos:

N = N₀e^kt

0.935 = 1e^-0.00012t

Para poder resolver t, podemos utilizar una operación llamada logaritmo y tomar el logaritmo natural (ln) en ambos lados.

ln0.935 = -0.00012t

-0.0672 = -0.00012t

t = -0.0672 / -0.00012

t = 560 años

De acuerdo a nuestros cálculos, el mapa tenia 560 años en el año 1995. Esto sugiere que el mapa había sido dibujado en el año 1435, 50 años antes de que Colón llegara a América, sugiriendo de que el mapa de Vinland es auténtico.

Aplicaciones de ecuaciones exponenciales en la ciencia

Ecuaciones en la forma de N = N₀e^kt son ubicuas en la ciencia. Son utilizados en la ciencia de la Tierra para determinar la edad de rocas basándose en el decaimiento radioactivo de isotopos vivos por mucho tiempo tal como ⁴⁰K, en la epidemiologia para predecir el crecimiento y la propagación de un virus con un periodo de incubación especifico, en la química para describir tasas de reacción, en poblaciones de organismos como conejos para manejar su población y en un sin numero de otras maneras. Todos estos sistemas exhiben no solo un simple aumento de dos o tres veces la cantidad inicial con el paso del tiempo. pero están continuamente en crecimiento o decaimiento y por ende som mas exactamente descritos como ritmo de crecimiento base de e en vez de un entero.